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nuit nuit am 08.01.07 20:19

[SIZE=16]Berechnung von einem Punkt mit 3 Bezugspunkten[/SIZE]
Nachdem sich das hier nicht auf eine bestimmte Kategorie bezieht und alles mit einschliesst...poste ich doch einfach mal meine Mathe gedanken der vergangenen Tage
besser gesagt ich habe mich schon länger mit dem Problem beschäftigt, bin aber immer an ein paar kleinigkeiten stecken geblieben....

Das Problem: Wir haben einen Punkt der ist willkürlich in einem Koordinatensystem gesetzt...wir haben 3 Punkte und ihren direkten abstand zu dem gesuchten Punkt...
Wir wissen, dass diese 3 Punkte, nennen wir sie A B und C, ein gleichseitiges Dreieck bilden (um das ganze zu vereinfachen, später vielleicht mal mit einem willkürlichen)

Also, herransgehensweise:
wir unterziehen diesem Dreieck eine Translation und eine Rotation, so dass 2 Punkte A, B auf der X-Achse liegen, wobei [tex]A(0,0)[/tex] ist, und [tex]B(a,0)[/tex] (a = Abstand der Punkte)
Demnach ist [tex]C(\frac{a}{2}, \sqrt{\frac{3}{4} \cdot a)[/tex]
ook...damit wären unsere Punkte definiert....
Um die abstände zu definieren sagen wir, die Linie von A zu Z (unser unbekannte Punkt) ist a', von B zu Z ist es b' und von C zu Z ist es c'
ich hoffe alle können mir noch folgen :D

ich hab mir nun überlegt, dass wenn wir 3 Kreise bilden, jeweils mit einem der 3 Punkte als Mittelpunkt dem Abstand zu Z als Radius, dann ist der Schnittpunkt dieser 3 Punkte unser gesuchter Punkt.

So....dazu brauchen wir die Kreisformel: [tex](x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r^2[/tex]
dass ist die allgemein Formel...stellen wir mal auf, was wir für kreise, dann bekommen

K(A):[tex]r = a' ; x^2 + y^2 = a'^2[/tex]

K(B):[tex]r = b' ; (x-a)^2 + y^2 = b'^2[/tex]

K(C):[tex]r = c' ; (x - \frac{1}{2} \cdot a)^2 + (y - \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot a)^2 = c'^2[/tex]

Ersteinmal müssen wir x-stelle von den 2 einfachsten Formeln berechnen:
(I) [tex]x^2 + y^2 = a'^2[/tex]
(II) [tex](x-a)^2 + y^2 = b'^2[/tex] => [tex]y^2 = b'^2 - (x-a)^2[/tex]

(I) in (II): [tex]x^2 + b'^2 - (x-a)^2 = a'^2[/tex]
dass lösen wir nach x auf und wir kommen auf:
[tex]x = \frac{a^2 + a'^2 - b'^2}{2a}[/tex]

y können wir nun teilweise über den Pythagoras ausrechnen (tipp kam von einem Freund) aber man kann nicht ganz auf y schliessen nur auf den absolut wert von y
[tex]a'^2 = x^2 + y^2[/tex] => [tex]y = +- \sqrt{a'^2 - x^2}[/tex]
nun können wir x wieder einsetzen von oben
[tex]y = +- \sqrt{a'^2 - (\frac{a^2 + a'^2 - b'^2}{2a})^2}[/tex]

wir haben aber nun ein +- was bedeutet wir können noch nicht sagen, ob es sich über oder unterhalb der x Achse befindet...zuerst dachte ich, man kann das ganze mit nur 2 Punkten machen...das war aber ein trugschluss....
so...um nun zu erfahren ob es sich oberhalb oder unterhalb der Achse befindet, muss man den 3 Kreis zuhilfe nehmen, wobei ich hier nicht mehr einsetzen würde, sondern die formeln ausrechnen und dann testen, ... es hat keinen grossen wert mehr, da man nur testen muss, ob es sich um + oder - handelt ;)

nunja...ich vielleicht kann es der eine oder andere gebrauchen...ich wollte hier nur mal meine gedanken zu papier bringen.....das war so ziemlich das eleganteste....selbst mein Mathelehrer hat heute darüber gestaunt...er meinte ich solle es nicht nur auf 2 Ebenen belassen, sondern auch noch die 3 Ebene mit einbeziehen...d.h. das ganze auch noch in der Höhe zu machen.....mal schauen, wenn ich die Zeit finde mit der es Ziemlich knapp ausschaut....
wenn ich mal wieder einen Scanner hab, kann ich gerne noch ein Bild hinzufügen, wer sich das nicht vorstellen kann.....wer konkrete Fragen hat...gerne fragen, wer anmerkungen hat, dass ich mich wo verrechnet habe, auch gerne her damit *g*

Ich wusste auhc nicht recht wohin damit :D Script ist es keins...es ist eine eigene kreation...meine Gedanken...insofern...hier rein :D

ACHTUNG: Die ganzen berechnungen beziehen sich auf ein Koordinatensystem....d.h. der Punkt ist nun (x,y) von A entfernt, da A der Nullpunkt ist

btw: wer das noch allgemeiner braucht, rechnen will, soll das gerne machen *g* es wird nur irgendwann mit den Buchstaben verwirrend...meiner meinung nach :D
aber mal kucken vielleicht finde ich die Zeit ja noch...das ist ja nur noch allgemein Sachen einzusetzen ;)

gut,
hoffe ihr habt spass damit,
nuit

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Al3x0r Al3x0r am 08.01.07 21:28

interessant... :)

Ich würde dir empfehlen noch die dritte Ebene mit einzubeziehen (Höhe) :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D

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